Spurpolynom

Autor: Junjie Lyu
Betreuer: Prof. Schneider

Einleitung

In diesem Artikel wird ein Spurpolynom des Carolo Cup Fahrzeugs beschrieben. Daher befasst sich dieser Artikel mit der Berechnung des Spurpolynoms.

Regressionsanalyse[1]

Anleitung

Ziel der Regressionsanalyse am häugigsten ist es, Beziehung zwischen einer abhängigen und einer oder mehreren unabhängigen Variable festzustellen, um ein Vorhersagemodell zu erstellen. Wenn nun zusätzliche Werte x ohne zugehörigen Wert y vorliegen, dann kann das angepasste Modell zur Vorhersage des Wertes von y verwendet werden.

Polynomische Regression

Im Falle der polynomischen Regression vom Grad 2 wird die Funktion $\hat{y}=a\cdot \widehat{x^2}+b\cdot \hat{x}+c$ unter der Bedingung gesucht, dass die Funktion

$V(a,b,c)=\sum _{i=1}^k(y_i-\widehat{y_i}{)}^2=\sum _{i=1}^k(y_i-a\cdot x_i^2-b\cdot x_i-c{)}^2(1)$  
  

der Summe der Quadrate der Abstände der tatsächlichen y-Werte von berechneten $\hat{y}$ -Werten ein Minimum hat. Zur Bestimmung der Konstanten $a,b,c$ in Gleichung (1) werden die partiellen Ableitungen $\frac{\partial V}{\partial a}$, $\frac{\partial V}{\partial b}$ und $\frac{\partial V}{\partial c}$ gleich null gesetzt, um jeweils das minimum zu erhalten:

Partielle Ableitung nach $a$:
$⟶\frac{\partial V(a,b,c)}{\partial a}=2\cdot \sum _{i=1}^k(y_i-a\cdot x_i^2-b\cdot x_i-c)\cdot (-x_i^2)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\overline{y_i{x}_i^2}=a\cdot \overline{x_i^4}+b\cdot \overline{x_i^3}+c\cdot \overline{x_i^2}(2)$

Partielle Ableitung nach $b$:

$⟶\frac{\partial V(a,b,c)}{\partial b}=2\cdot \sum _{i=1}^k(y_i-a\cdot x_i^2-b\cdot x_i-c)\cdot (-x_i)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\overline{y_i{x}_i}=a\cdot \overline{x_i^3}+b\cdot \overline{x_i^2}+c\cdot \overline{x_i}(3)$

Partielle Ableitung nach $c$:

$⟶\frac{\partial V(a,b,c)}{\partial c}=2\cdot \sum _{i=1}^k(y_i-a\cdot x_i^2-b\cdot x_i-c)\cdot (-1)$
dividiert durch $k$ ergibt: $\overline{y_i}=a\cdot \overline{x_i^2}+b\cdot \overline{x_i}+c(4)$

Es entsteht wieder ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen $a,b,c$,dessen Lösung die optimalen Konstanten liefert:

$a=\frac{(\overline{y_i{x}_i^2}-\overline{y_i}\cdot \overline{x_i^2})\cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i}{)}^2)-(\overline{y_i{x}_i}-\overline{y_i}\cdot \overline{x_i})\cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i}\cdot \overline{x_i^2})}{(\overline{x_i^4}-(\overline{x_i^2}{)}^2)\cdot (\overline{x_i^2}-(\overline{x_i}{)}^2)-(\overline{x_i^3}-\overline{x_i}\cdot \overline{x_i^2}{)}^2}$
$b=\frac{\overline{y_i{x}_i}-\overline{y_i}\cdot \overline{x_i}-a\cdot (\overline{x_i^3}-\overline{x_i}\cdot \overline{x_i^2})}{\overline{x_i^2}-(\overline{x_i}{)}^2}$
$c=\overline{y_i}-a\cdot \overline{x_i^2}-b\cdot \overline{x_i}$

Offline Modell

Eingabe-Variablen:

x und y: Koordinaten des Fahrzeugschwerpunktes in Weltkoordinaten
phi: Fahrzeugrichtung in Weltkoordinaten.
Z: die Bahnpunkte

Ausgabe-Variablen:

a,b,c: Koeffizienten einer Parabel, welche die Fahrbahn im Fahrzeug-Koordinatensystem bestmöglich nähert

Die Punkte werden bestimmt, die von (x,y) einen Abstand kleiner d haben. Die Punkte werden angenommen, die (x,y) immer maximal d/2 von der Laborbahn entfernt ist. Durch die angenommenen Punkte mit polynomischen Regression werden a,b,c beschrieben. Dann könte man ein Vorhersagemodell für Fahrzeug erhalten.

Abb. 1 Offline Kamera modell

Online Modell

Eingabe Variablen werden durch Kamera erhilten

Ausgabe-Variablen:

a,b,c: Koeffizienten einer Parabel, welche die Fahrbahn im Fahrzeug-Koordinatensystem bestmöglich nähert

Abb. 2 Online Kamera modell

Literatur

Regressionsanalyse der Uni Leipzig
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